Banavar的推理運算

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在該網絡中每條有向邊e就表示資源的流向,並且邊的權重表示資源流量的大小f_e

整個網絡是由節點填充的一個D維空間中的區域,因此,網絡的節點數與這個填充空間所佔的體積成正比。例如,在2維空間中N \sim r^2,假設整個網絡鑲嵌在一個圓形區域裡面,那麼整個網絡的節點數 。因此,D維空間中就是N \sim r^D ,其中r可以理解為整個系統的某種特徵尺度。

接下來,假設每個網絡節點在每個時刻都要消耗固定數量的能量資源C。那麼每個時刻系統消耗的總的資源也就是系統的新陳代謝率就是:

F = NC \sim r^D

同時,流入該節點的流量減去流出該節點的流量需等於常數值即對任意的節點k都應該有:

  \sum f_{k,in} - \sum f_{k,out} = C

另一方面,我們可以統計整個網絡中各個邊的總流量,並認為這個流量即構成了整個生物體的重量(與生物體的尺寸成正比)。因此,有:

 M = \sum_{e} f_e

這樣不同的網絡拓撲結構在滿足上述條件的情況下就會得到不同的M值。有定理保證,M值在圖c所示的生成樹網絡中有最小值,而在d所示的螺旋形狀的網絡中有最大值。

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並且可以計算出,c圖所示的生成樹對應的M滿足:

 M \sim r^{D+1}

所以:

 M \sim F^{ D / \left( D+1 \right) }

D=3維空間的時候,它剛好是3/4律。

我們知道,M值最小意味着在保證能夠供給網絡上所有節點足夠能量的前提下需要的消耗在運輸網絡中的能量最小,也就是說這樣的網絡是一種最有效的結構。這種最有效的結構恰恰是一個從源出發不斷分叉構成的分形樹狀網絡。因此該理論從最優原理的角度出發,不僅得到了3/4律,而且自發得到了分形網絡結構。


Catagory:複雜系統

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