生命之流(7)——流動與時間的賽跑

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  • 時 間:2008-04

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生命之流(7)——流動與時間的賽跑

很早以前,古希臘的哲學家們就開始認識到“萬物皆流”是宇宙的本質。這種流變就對 應為一切生命系統甚至非生命系統(例如人類城市)都具備的新陳代謝屬性。我們所討論的 流動系統都具有新陳代謝特徵,也就是組成系統的個體單元每時每刻都在更新、都在變化, 但奇怪的是,由這些流變的部分卻能構成一個穩健的整體!你、我的身體就是這樣的不斷流 變的新陳代謝的整體,要知道你身體的細胞平均每隔四年就被更新一次了,那麼憑什麼說你 還是 4 年前的你呢?因為,你和我還有所有的生命個體一樣,我們都是由一些不斷流變的 個體所組成的穩定的模式(Pattern)。

非平衡態統計物理是一門認真對待新陳代謝現象的學科,它就是研究各種能量、物質的 流動所組成的開放系統。然而,近百年的非平衡態統計物理的發展卻沒給我們帶來更多的認 識上的飛躍。因為目前科學家們還沒有找到適用於所有非平衡系統的通用規律,大部分有意 義的結論仍然局限於一些相對簡單的近平衡系統中。

但是,就在這最近的短短 20 年間,一些理論上的新發展可能即將打破這一僵局。一方 面,當越來越多的人開始關注廣義的非平衡態現象的時候,人們漸漸領悟到一條所謂的“最 大流原理”可能正在制約着一切非平衡系統的演化;另一方面,隨着人們對生態系統的實證 數據的積累,“代謝生態學”正在一點揭示一切廣義的新陳代謝現象中的普遍規律。

本章就是要介紹這些非平衡態物理的新進展,和筆者自己提出來的一些理論模型。首先, 我們將小心的討論最大流原理究竟在說什麼,以及它可能的適用範圍;其次,我們將給出一 個基於流動的統計力學框架,並與平衡態統計做類比。最後,我們簡要介紹一些代謝生態學 的內容,並試圖用我們的基於流動的統計框架來探討代謝生態學中的內容。

最大流原理

讓我們放眼周圍的大千世界,會發現各種各樣的流動彷彿都在加速。例如,隨着城市交 通的發展,交通流在不斷的加強;隨着經濟的發展,經濟的流動速度:GDP 也在不斷的攀升。 孫中山曾說:“人盡其才,物盡其流”,即事物發展的一種必然趨勢就是要讓流動盡量的通順、 暢快。

科學家們不會對這類明顯的規律視而不見,於是,越來越多的人提出了不同的原理來總 結這類流動加強,一切都在加速的現象。例如,著名的美國生態學家 Lotka(因為提出著名 的捕食者-被捕食者模型,即 Lotka-Volterra 模型而聞名)早在 1922 年就提出了一個猜想, 隨着生態系統的演化,生態系統中的總功率,也就是總能量流會被不斷加強。隨後,另一名 美國生態學家 H.T. Odum 進一步總結了 Lotka 的結論,而提出了一個一般性的原理:“最大功 率原理”來闡釋這種生態系統中的能量流加強的現象。隨後,生態學界有一批人非常熱衷於 尋找生態系統中的各種“目標函數”(生態學家們稱其為 Eco-target,有很多有關能量流的函 數都可以充當這個 Target,比如 Exergy,Emergy 等等)。

另外一些與最大流原理研究密切相關的是物理學家。早在 1947 年,著名物理學家普利 高津就提出了一個“最小熵產生原理”以揭示非平衡定態的現象(關於熵產生,我們將在下 一章詳細論述)。隨後,很多物理學家圍繞着熵產生這個函數,提出了各種原理,其中有一 個跟最大流非常接近的原理是最大熵產生原理,我們將在下一章詳細討論這些主題。 近些年來,還有很多人獨立地提出了非平衡系統中的各種最大流原理。例如,工程師 Bejan 提出了一個所謂的“構建定律”,指出任何一個非平衡系統都要最大化它內部的流動通 路,從而生長出各種不同的結構。中國天津大學環境學院的柴立和教授和日本東京大學的 Shoji 教授通過研究沸騰液體中的各種氣泡的相互作用,而提出了“最大流原理”(Maximum Flux Principle)。

Nature 的自由撰稿人,科普作家:John Whitfield 曾於 2007 年發表在著名生物電子雜誌 Plos One 上的一篇文章叫作《Survival of likeliest》,暗示了一個新的自然選擇原理:那些能夠 把能量流調節到最快速最順暢的生物體才能獲得更大的生存可能性。並且,他明確指出了達 爾文自然選擇學說應該以統計物理的基本思想為基礎。因此,John Whitfield 暗示了一個作 為自然選擇的最大流原理。

還有很多前人積累的工作我們就不一一列舉了,但是仔細考察這些“原理”就會發現, 雖然它們表面上都在討論最大流現象,但是它們的實質卻非常不同。首先,這些最大流原理 中被最大化的那個目標函數是不盡相同的;其次,這些原理所適用的範圍也是非常不一樣的。 因此,可以說,所謂的最大流原理仍然處於一種“群龍無首”的混亂局面,因此,主流科學 界也從來沒有認真對待過最大流原理。

面對這樣的混亂局面,我們首先有義務對所有這些最大流原理進行總結和歸納。我們將 把最大流原理歸結為三個子原理,這三個子原理分別適用於三種不同的條件。但是,統一的 目標函數的問題將留給下一章解決。

最快者生存(Survival of fastest)

在諸多的最大流原理中,John Whitfield所說的“最快者生存”是一條最重要的原理,儘管這條原理相比較其他的原理來說並不那麼直觀。這條原理之所以重要,一方面是它奠定了一種以統計物理思想為基礎的理論;另一方面,它為達爾文的適者生存理論提供了一個合理的基礎。另外,我們將指出,很有可能從這條原理出發,我們可以從理論上導出其他的最大流原理。因此,我們將最快者生存原理稱之為最大流第一原理(The first principle of maximum flux)。

讓我們放眼大千世界,會發現自然選擇原理之中的確包含了時間和效率的內容。因此,贏得了時間也就贏得了生存競爭。

讓我們考慮兩種生物A、B,假如它們同時競爭一種有限的能量資源E,但是這兩種生物體處理能量的速度不一樣,A快而B慢。那麼,很顯然,A就會比B更加容易活下去。假如A消化單位能量所需要的時間是T1,而B消化同樣能量的時間是T2,並且假設每個生物在消耗完一定的能量之後又會從E獲取更多的能量。那麼,容易計算,A生物所獲取的總能量就是E/T1,B生物是E/T2,而因為T1<T2,所以A生物獲得的能量就比B多。所以,A就會比B更容易生存下去。

生態學家H.T. Odum曾設計了一個更精細的不同生物體競爭能量流的模型來說明這種最快者生存原理。如圖:

圖1 Odum用於說明生物生存與能量流之間關係的例子

在這個例子中,有三種不同的生物來競爭同樣的一種能量流資源。這三種生物分別用三個右側的六邊形表示,能量源用左側的圓圈表示。與上面的例子不同的是,這個能量源不具有固定的能量,而具有固定的能量流速。我們可以把這個能量源想象成一個大的水池,這樣每一時刻,都有固定的能量J(常數)流入水池中。而這個水池不具備儲存能量的能力,所以沒用的能量就會直接轉變成廢物而流出,這個流出量就是R。

三種生物體都從這唯一的能源獲得能量流,並且每個生物體獲取能量的方式都不同,它們分別用不同的微分方程來表示。三種生物體也可以看作是一個儲存能量的蓄水池,它們體內所包含的能量大小分別用L,A和Q來表示。

這樣,對於第一個生物體L來說,它在每周期所獲得的凈能量是:

\dot{L} = k_4 R - k_5L

在這裡\dot{L}表示L的變化率,k_{4}R表示該生物體每時刻攝入的能量流,注意,它跟能量源在該時刻所剩下的能量R有關;k_{5}L則表示該生物在每時刻消耗的能量流。這樣,二者的差就表示每一時刻L的凈增長量。同樣,其他的兩個生物A和Q也是類似,不過他們與L獲取能量的方式不同。比如A所獲取的能量流不僅與R成正比,而且還與他自身的總能量A成正比,所以隨着A增加,它每時刻所獲得的能量流入率也增加,這就是說,A這種生物能夠主動覓食,當A增加了,它們群體獲得能量的能力也會增加。類似的,Q的增長率不僅與R成正比,而且還跟Q2成正比,這樣,隨着Q的增加,它的獲取能量的能力就會比A增加的更快。

總結來看,該系統中一共有4個變量分別是L,A,Q和R,其中L,A,Q分別用它們的微分方程來計算,R則按照圖1左端的方程計算,k_{1}, k_{2}, ...,k_{9}和J都是常數。對於這樣的動力系統,我們不難用計算機模擬的方法研究它。請看下圖的模擬結果:

圖2 Odum例子中的模擬結果

在左圖中,我們看到,不同的參數J會導致不同的演化曲線,從而有不同的生物會勝出。當能量流量很小(J=1)的時候,A和Q這兩種生物會很快死亡消失,而L這種簡單的線性生物勝出。但是,隨着J增大(J=15)的時候,A這種比L更複雜一些的生物(因為具備了主動覓食功能)會最終取勝。最後,當J很大的時候(J=30),只有最複雜的生物Q會勝出,其他的生物都滅絕了。右圖所表示的是在不同的J取值的情況下,系統中沒有被使用的能量流R的大小與總能量流大小J之比。我們看到,隨着J的增加,整個系統的能量利用率會越來越高。

Odum這個例子顯然更加複雜、精細,它不僅說明了,不同的能量流會對不同的生物造成選擇,而且,還說明了不同的能量流會創造完全不同的生態系統。當能量流較小的時候,生態系統會比較簡單,因此只有線性獲取能量的物種L能生存,但是隨着能量流變大,可以存活的物種就會變得越來越複雜,那些能夠更加主動獲取能量流的物種才會在生存競爭中獲勝。

自加速原理

生存競爭往往體現在同等情況下的多個主體和多個系統之間的故事,然而,在更多的複雜系統中,即使不存在同等條件下的多個主體或者系統,我們仍然會看到一種自動加速的現象。例如,在一個地區的經濟系統中,隨着系統的演化,系統之中的經濟、貿易之流會被加強。很顯然,對於一個經濟系統來說,這裡就不存在多個系統之間的生存競爭,也就沒有上面所講的“最快者生存”的那套故事了。但是,最大流現象彷彿仍然存在,因此,我們有必要和上面的第一最大流原理相區分,分別提出第二最大流原理和第三最大流原理。

不失一般性,我們可以把任何一個非平衡的複雜系統抽象為一個輸運能量、物質或者貨幣的網絡。如下圖所示:

圖3 一個輸運網絡,其中邊的粗細表示邊上輸運流量的大小

如果我們定義系統的總流量為:

F = \sum_{i j} f_{i j}

其中f_{i j}為邊i-->j上的流量。這樣,如果F在增加,則有可能由多種因素造成的。首先,整個網絡的拓撲結構會發生變化從而導致總流量的加強,這是我們下一個即將討論的第三最大流原理。其次,如果系統的網絡結構不發生變化,那麼假如系統中輸運的物質總量增加了,那麼系統的總流量自然也會增加。這些情況都不稀奇,但是還有一種情況是,系統中流動的物質或者能量總量並不發生變化,但是僅僅這些流動物質的流動速度增加了,這被稱為第二種最大流原理,也就是我們這裡說的自加速原理。 請看下面的例子:

圖4 自加速原理說明

假設一個非常簡單的環狀輸運網絡,其中有兩個節點A和B,在這個網絡上輸運着兩個物質a,b,並且a,b在輸運過程中不會消失也不會增加。假設每一個周期,就會有一單位的a或者b從A跳到B或者從B跳到A。那麼10個周期內,我們就會看到從A到B的總流量為ababababab,就是10。

假如這兩種物體在網絡上運動的速度加快了,那麼,在每個周期a可以走兩步,這樣a跳到B再跳到A,那麼同樣是10個周期,A到B的總流量就是:ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab,即20。在這種情況下,流動於整個網絡上的總物質並沒有增加(總物質量仍然是a+b),但是由於每一個物質的運動速度增加了,所以網絡上的總流量就加強了。

第二最大流原理試圖抽象地告訴我們,自然系統的演化會趨向於這樣一種自加速現象。我們看到,在經濟系統中這種自加速現象是明顯的。我們知道,一個宏觀經濟系統的GDP定義為所有生產價值的總和,然而這種生產價值的計算則取決於對貨幣流量的累積。也就是說,如果把經濟系統中的交易看作一個輸運貨幣的網絡,那麼GDP就相當於是這個網絡上的總的貨幣流。假如在一段時間內,政府沒有發行新的貨幣,並且假設這個經濟系統沒有對外貿易,這也就意味着流動於整個網絡上的貨幣總量沒有改變。但是我們看到,這個經濟系統的總GDP仍然會隨着經濟系統的蓬勃發展而增加。那麼這種新增加的GDP就並不來源於從外界注入的新貨幣流,而在於等量的貨幣流在系統之中的流動速度增加了,所以,這種情況下,GDP的增加正是第二最大流原理的體現,也就是一種貨幣流的自加速現象。

讓我們總結一下第一最大流原理,即最快者生存原理和第二最大流原理,即自加速原理,會發現,這兩種原理都揭示出了流動與時間的緊密關係。因為無論是哪個原理,它們都在說流動所佔用的總時間會越來越少。因為流動本身就定義為在單位時間內,流過某一個點的流量的總和;所以如果系統變快,自然流量就會變大。也就是說流量大和時間快本身就是一對雙關語,他們應該是同一硬幣的兩面。這種認識是非常重要的,我們還會在後面繼續探討這裡面的深刻含義。


流與網絡的協同演化

我們已經講述了兩種最大流原理,正如上一節的最後一段所述,這兩種最大流原理都是一類跟時間緊密相關的現象。但是,在現實世界中,更多的流動現象不僅僅跟時間有關,更多的時候是同時跟時間和空間有關。例如,在經濟系統中,往往是一方面系統中存在着貨幣流的自加速現象;另一方面,系統也存在着新的貨幣注入和對外貿易,這就使得不僅僅流動在加速,而且流動的總物質也在增加。更重要的是,輸運網絡本身也會逐漸演化。那麼,在這樣一種網絡拓撲結構和網絡上的流動協同演化的系統中,最大流原理就更加複雜了。

讓我們先看一個交通網絡的例子。我們知道,在一個城市中,車輛流顯然是受到交通網絡的結構所限制的;但是,從更長遠的時間尺度來看,交通流不僅受到網絡結構的限制,而且還會反過來影響網絡本身。比如市政部門為了緩解交通壓力,會拓寬現有的公路,而且還會不斷修築新的公路使得交通流更加順暢。假如AàB的路段經常會發生交通擁堵,那麼,政府就有可能在A和B之間修築新的公路使得從AàB的交通流增加。因此,粗略來看,公路和交通流耦合演化的系統總是趨向於最大化交通流的方向。

Lotka所提出,Odum進行了擴展的最大功率原理也是在說這樣一種流與網絡的協同演化現象。我們可以把一個複雜的多物種相互作用生態系統抽象成一個複雜的能量輸運網絡,那麼在這樣的網絡中,系統的演化就體現為網絡拓撲結構的不斷變化,Lotka猜想,這樣的網絡變化必然會最大化系統之中總的能量流。讓我們看看下面的例子:

圖5 生態網絡的演化

如圖5所示,生態系統中的能量輸運網絡會經歷從左圖到右圖的演化過程。在這個過程中,更多的物種會加入到這個系統之中,從而使得能量流通道會被構建,最終導致總的能量流增加。

我們可以用一種特徵空間的方法來表示所有這些物種和物種之間的能量流通路,那麼圖6中從左圖到右圖的演化過程就可以對應着圖6的一種特徵空間中的擴散行為。

圖6 網絡特徵空間的演化

如圖6,表格中黑色的方格對應着相應的節點之間存在着連接。我們看到,在圖5中的網絡演化就對應着圖7-6中的黑色方格的擴散過程。也就是說,圖5中的網絡越來越複雜就意味着6特徵空間中的黑色方格擴散所佔的面積會越來越大。也就是說,這樣一種系統的演化行為將不僅僅體現在時間中的加速現象,而更多的體現為空間中的擴散行為。

顯然,這種流與網絡的協同演化反映了更加普遍的系統現象。例如,在經濟系統中,如果把各種產品看作是網絡的節點,那麼產品之間的交易就對應了網絡上的流動。我們會觀察到,隨着系統的演化,經濟體中可用來交易的產品種類也會越來越豐富,從而使得整個經濟系統的貨幣流加強,從而導致了經濟的繁榮。這裡面,產品越來越豐富也可以看作是一種產品特徵空間中的擴散現象。

總結來看,我們可以得出第三條最大流原理:在一個網絡和流動協同演化的系統中,網絡的拓撲結構會逐漸變化,使得流過系統的總流動增強。


基於流動和時間的統計力學

我們嘗試着對各種最大流原理進行歸類、總結,以圖更加清晰的表述這些原理。但是,這些表述僅僅是把最大流作為一種猜想提出來,而並沒有進一步分析為什麼會產生這些最大流現象。通過前面幾章對平衡態統計物理的回顧,我們發現,最大流原理與平衡系統中的最大熵原理非常相近。最大熵原理說,對於一個任意的封閉的平衡系統來說,系統將朝向最大化熵的方向演化。我們可以回憶那個玻爾茲曼撞球模型,一群小球最終會趨向一種最無序的狀態,這種狀態的一個特性就是:它們會盡量充滿整個容器空間,因此,我們也可以把最大熵原理粗俗的理解為,隨機性的小球會最大化的充滿所允許的空間。與此類似,在敘述最大流原理的時候,我們已經反覆強調了,最大流原理是一種流動和時間的對偶關係,這樣一種系統演化的趨勢就意味着:隨機性的流動會最小化它所需要的時間。因此,這樣一種流動和小球的類比,以及時間和空間的類比讓我們看到,很有可能存在着一套與玻爾茲曼統計力學相仿的統計力學,只不過這套新的統計力學不是關於小球佔領空間的,而是關於流動如何佔領時間的。

為了初步領略這種流動與小球,時間與空間的對稱性。讓我們用一個具體的例子和第五章講的玻爾茲曼小球模型進行對比。雖然這個例子沒有說明最大流原理,但是它清晰地說明了時間和空間之間的對稱關係。 例1:(如圖7)若干運動員在同一條起跑線上於同一個時刻出發,經過激烈的角逐,最終他們到達終點的時間會呈現均勻的隨機分布。

圖7 起跑的瞬間

如果我們用運動員起跑在時間上的分布曲線來看,他們近似構成一個尖峰的δ分布,曲線的熵為0。而在終點線上,這些運動員在時間上的分布將會呈現一種最大熵的均勻分布情況。這是我們經常會觀察到的現象。 然而,究竟為什麼會呈現這樣一種現象呢?實際上它是玻爾茲曼小球模型在時間域上的翻版。為了對這個問題進行更正式的討論,讓我們先定義這樣一個模型:

圖8 流動模型

假設有一個長方形的跑道如圖7-8所示,運動員(左側的箭頭)從同一個起跑點(方框的左側)出發,跑完整個過程到達同一個終點(方框的右側)為止。每一個運動員都用一個小箭頭表示,也就是說每個運動員都是一個流動過程。圖8僅僅是一種示例,表示運動員在不同的時間點上分布在跑道的不同位置。

實際的情況是,每個運動員由於競技水平的差別而具有不同的速度,這樣經過漫長的角逐,速度快的運動員就會先到達終點,速度慢的運動員就晚到達終點。為了模擬這種情況,我們給這群運動員制定下列規則:每個運動員分處於不同的跑道之上,他們彼此之間沒有相互作用,他們會保持自己的速度勻速運動到終點。

好了,下面我們就來將這個運動員跑步的模型與玻爾茲曼小球模型進行類比。

圖9 玻爾茲曼小球模型隨着時間的演化

圖9 玻爾茲曼小球模型隨着時間的演化

如圖9所示,初始時刻,小球都集中在容器的左下角,隨着時間的演化,這些小球開始隨機的遊走,最終會散布在容器中的所有位置。如圖9的最後一張圖所示。

流動模型跟這個小球模型非常相似,只不過需要把小球模型中所有出現時間的地方替換為空間,所有出現空間的地方替換為時間,如圖10:


圖10 流動模型隨空間的演化

首先,需要說明圖7-10畫出來的是跑道的不同空間位置上各個運動員在時間上的分布情況。例如,在左側的第一張圖中,這畫出來的是起跑點位置各個運動員在t=0,t=1,和t=2三個時間點上的分布情況。顯然,在起跑點位置上,所有的運動員全部集中在初始時刻t=0上面。而到了t=1和t=2時刻,由於所有的運動員都運動了,因此都會離開x=0這個點,所以,在這兩個時刻沒有運動員分布其中。讓我們再看圖7-10中的第二副圖,它表示x=1這個點上,不同時刻t=1,t=2,t=3上面運動員的分布情況。為了清楚,我們用不同的顏色標識了不同的運動員,他們具有不同的速度。假設最快的速度是1個空間單位/時間步,那麼黃色和中間藍色的運動員就會在t=1時刻跑到x=1的位置,也就是他們會分布在t=1這個豎格子裡面。同樣,下面倒數第二個天藍色的運動員速度是1個空間格/2個時間步,相當於每2個周期走一個格,這樣他就會在t=2時刻到達x=1這個點。同樣的道理,第二個運動員和最下面的運動員速度最慢,是1個空間格/3個時間步,所以他們會在t=3這個時刻到達空間位置x=1這個點。最後,所有的運動員在x=1這個位置上不同的時間上的分布情況就如圖7-10的中間那張圖所示。同樣的道理,我們可以畫出x=2這個位置上,不同的運動員在不同時間上的分步,我們看到,隨着距離逐漸往右推移,各個運動員在不同時間上的分布就會隨着速度的不同而越來越均勻。如果計算這些運動員在時間上的分布熵,我們會看到這個熵值會越來越大。這與玻爾茲曼模型中各個小球會儘可能地佔領所有的容器空間是完全對應的。

為了更清楚地看清楚這種類比關係,我們列出下面這個對照表:

條目 玻爾茲曼小球模型 流動模型(運動員模型)
系統條件 初始條件:所有的小球都集中在容器的左下角 邊界條件:所有的流動都在同一個時刻出發
統計的微觀對象 小球 流動(運動員)
演化規則 小球按照自己的速度無碰撞的在容器中移動 流動在各自的跑道上無碰撞的移動
守恆性 在任意給定時刻,處於所有不同空間位置的小球總數不變 在任意空間點上(跑道的不同橫截位置),在所有不同時刻經歷過的流動總數不變
系統狀態 任意時刻,小球在所有容器空間上的分布情況 任意空間點,流動(運動員)在所有不同時間上的分布情況
平衡(最終)狀態 在最後時刻,所有的小球最均勻的充滿容器的所有空間,小球空間分布對應的熵最大 在跑道的空間終點上,所有的流動(運動員)都最均勻的充滿可能的時間,流動時間分布對應的熵最大。

我們看到,玻爾茲曼的小球模型和我們這裡的流動模型有着非常漂亮的對稱關係,所不同的是,我們需要把玻爾茲曼模型中所有出現小球的詞彙都替換成流動,所有出現空間的地方都替換成時間,而所有出現時間的地方都替換成空間。雖然這個例子並不能說明更深奧的道理,但是它至少向我們揭示了,傳統的統計物理充其量是一套關於空間的統計力學,而還存在着一套針對流動和時間上的統計力學,還遠遠沒有被人揭示。這個流動模型的例子可以讓我們窺視到這套新理論的“一斑”。

雖然運動員跑步的這個例子能讓我們看到了統計力學這套方法是完全可以將時間和空間互換的,但是這最終的結論:所有的流動會儘可能的充滿整個時間似乎和我們一開始的目標:隨機性的流動會最小化它所佔據的時間,還相差很遠。這種時間上的快速性和統計概率究竟有什麼關係呢?我們需要開發新的工具來理解時間和概率的關係。

四維概率

要理解流動和時間的關係,尤其是第一最大流原理:最快者生存,我們必須將概率和速度快慢聯繫起來。按照統計力學的基本原理,我們所能看到的狀態不是必然發生的狀態,而是一種最可能的狀態,這種最可能的狀態對應了一種概率最大的狀態。因此,當我們考察最快者生存原理的時候,我們可以同樣的把它表述成:自然優勝劣汰保留下來的系統是一種最快的系統,也就意味着越快的系統具有越大的概率。

然而,當我們考察我們熟悉的概率論的時候,會發現,傳統的概率更多討論的是一種空間上的佔有現象。

圖11 空間中的概率

如圖11所示,假如在一片土地上種了3種植物,分別用不同的顏色表示出來。其中深藍色的植物3、4、5佔有了更多的空間,所以我們在這片區域中發現深藍色植物的概率就是1/2,而淺藍色的植物僅僅佔領0號空間,所以它的概率就是1/6。因此,概率越大就說明這種植物所佔領的空間就越多。

下面,再讓我們看一個完全不同的例子,從而領悟概率大小和速度快慢之間的關係。

圖12 高速公路

如圖12所示,假設一段高速公路上有兩種汽車,黑色的大卡車數量略多一些,但他們跑得慢,紅色的小轎車數量少一些,但是他們的速度很快。如果觀察者坐在直升飛機上,在某一個瞬間進行航拍,就能觀察到這段高速公路的全貌,於是這就跟剛才所講的植物的例子沒有什麼區別,黑車的概率一定會比紅車更大一些。

假設一個觀察者並不能看到整個高速公路的全貌,而只能看到高速公路上最下面的橫截面上的汽車流動情況,如圖12所示。那麼由於紅車的速度快於黑車的速度,所以在一段觀察時間T內,紅車的數量就會大於黑車的數量。這是因為,黑車的速度慢,所以在時間間隔T內僅僅有少量的黑車會經過觀察者所在的橫截面,儘管紅車的數量總體來說可能會少一些,但在觀察時間T內,由於它運動的速度快,所以就會導致有更多的紅車會穿越過觀察者所在的截面。所以,在這個例子中,我們看到了運動越快的物體就會擁有更大的概率被觀察到。

這個例子酷似一道中學物理競賽題:下大雨的時候,是不慌不忙的走回家淋雨多還是急急忙忙跑回家淋雨多?假如雨是垂直落下的,那麼兩種走法淋的雨量是同樣多的。這是因為,當我們急急忙忙跑回家的時候,雖然總時間縮短了,但是由於我們運動的速度加快了,這樣單位時間內,人體橫截面所掃過的面積就會增加,從而當我們速度加快的時候,我們會感受到更大密度的雨滴。這也揭示了為什麼飛奔的汽車會比靜止的汽車具有更大的概率遭受鳥糞的襲擊,所有這些現象都告訴我們運動速度的快慢可以直接影響到我們觀察某種事物的概率。

為了更精確、定量的說明這種速度和概率之間的關係,我們需要定義一種新的數學模型,這個數學模型被我稱之為四維概率。傳統的概率往往僅僅定義在空間維度上,而忽略了時間維度,然而,在四維概率中,一個事件的發生不僅僅跟他所在的空間有關,而且跟它所在的時間有關。我們仍然用前面那個高速公路上的汽車為例子。首先,我們需要將這些汽車以及汽車的運動畫在一個包含時間和空間的四維世界中(由於空間被簡化成了一維,所以我們僅需要畫出一個二維世界就可以了)。

圖13 四維世界中的觀察與概率

如圖13所示,我們將時間畫成橫坐標軸,把高速公路的空間位置畫作縱坐標軸。每一輛運動的汽車都可以看作是這個四維世界中的一條斜的世界線,其上的任意一點表示汽車在某一時刻t運動到了空間上的x點。圖中的陰影區域表示的是一次觀察所能觸及的時間和空間範圍。我們知道,在現實世界中,每一次觀察只能觀察空間上的有限區域,在觀察時間上也不可能無限的長,這就造成了每一次觀察實際上都是四維世界中的一個區域。 那麼在這樣的有限區域中,某一個事件被觀察到的概率就相當於是這個事件所代表的世界線與觀察區域相交的條數占所有可能事件所代表的世界線與觀察區域相交的條數的比例。在13圖中,顯然我們觀察到紅車的概率就應該是觀察區域中代表紅車的世界線條數(為3)除以總的可能的世界線條數(為5),所以,觀察到紅車的概率就是3/5。同樣的道理,觀察到慢速度的黑車的概率是2/5(為了清晰起見,我們把黑車和紅車分別畫到了兩個不同的空間坐標軸上面了,但實際上,這兩個空間坐標軸應該重合。) 顯然,某事件的發生概率不僅僅依賴於該事件在空間上的密度,同時也依賴於該事件所代表的世界線運動的速度(即斜率)。速度越大,空間密度越大的事件它的四維概率也就越大。這樣,有了四維概率這個模型,我們就能把大概率事件和空間及其時間同時聯繫起來了

四維概率與代謝生態學

正如本章開篇所說,科學對生物體新陳代謝現象的認識還很初步。然而,近10年來,一門新興學科:代謝生態學(Metabolic ecology)的橫空出世卻揭示了生物體新陳代謝中的大量奧秘。雖然,對代謝生態學的各種解釋模型和實證規律大量充斥了頂級刊物Nature和Science,但是目前對整個這類現象尚缺乏一個令人信服的理論模型。我們相信,上一節所開發的四維概率模型很有可能為整個代謝生態學奠定理論基礎。

代謝生態學的研究起源於一個被稱為Kleiber律的實證規律。如果我們把所有物種的身體重量的對數作為橫坐標,把該物種的平均新陳代謝率的對數作為縱坐標,那麼每一個物種就會對應於一個獨一無二的點,把所有這些點聯起來就構成了一條斜率為3/4的直線,如圖。

圖14 Kleiber律對非常廣泛的生物物種都成立

如果將物種的平均身體重量記作M,把它的平均新陳代謝率記作F,那麼Kleiber律就可以表示成:

F \sim M^{3/4}

另外,生物學家們還發現,不僅僅生物體的新陳代謝與它的重量存在着冪律關係,而且很多與時間有關的變量,例如一個物種的平均壽命長短、平均生育年齡、懷孕的時間等等(我們統一記為T),都與該物種的重量M之間存在着1/4的冪律關係,即:

TT \sim M^{1/4}

而且,更有趣的是,這些規律不僅僅適用於生物體,對於類似人類城市這樣的更大的新陳代謝系統來說,也存在着這種普遍的冪律關係(參見Bettencourt等人的文章:《Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities》)。所以,這充分說明代謝生態學所揭示的是新陳代謝系統所共有的規律。

代謝生態學中還有很多的精確的定量規律和統計Pattern,然而這些規律和Pattern卻缺乏理論解釋。下面,我們將從4維概率的觀點來對代謝生態學進行一些非常初步的探討。這種探討讓我們看出,基於四維時空和流動的統計力學將有可能為代謝生態學的各種實證規律提供基礎。

眾所周知,我們人類之所以可以觀察出一個一個物體,是因為我們能夠非常清晰的在空間中劃分出這些物體的邊界。比如,一張桌子之所以為一個獨立的個體,就在於它具有清晰的空間邊界。

同樣,對於任意一個新陳代謝系統來說,由於系統的組分會無時無刻不在流變,所以,除了界定這個系統的空間邊界之外,還需要界定該系統的時間邊界,這個時間邊界就體現為該系統從出生到死亡的全過程,因此時間邊界的大小就是該系統的壽命。由於任何一個新陳代謝個體都是由大量存在着生死現象的更小的細胞構成的,我們可以用下面的圖來表示。

圖15 一個新陳代謝的生物體就是一個四維空間中的區域

如圖15所示,生物體都是由很多細胞構成的, ,這些細胞畫到四維空間中就是圖中的一個黑色圓圈所表示的區域。由於每個細胞都佔領一定的空間區域,即它在空間上有一個明確的劃分,同時,每個細胞都有自己的壽命,這就導致了他在時間軸t上有了一個明確的時間上的邊界,所以,一個細胞就是在四維空間中的一個區域。而對於整個生物體來說,它是由大量的細胞構成的整體系統。原則上講,這個更大的生物個體的邊界需要觀察者來界定。比如,從一個細胞的角度講,它並不能嚴格區分整個大生物體的內部和外部。然而,我們能夠界定出該生物體的邊界,這完全是宏觀觀察作用的一種統計結果。也就是說,從統計上講,該生物就存在於一個四維空間中的區域內。該區域的空間邊界就是我們通常所看到的生物體的邊界,而區域的時間邊界就是我們熟悉的該生物體的壽命。因此,所謂的新陳代謝生物體只是一個包含了時間的四維空間中的一個區域。而由於每個個體細胞相對於整個生物體來說都是不穩定的,所以我們可以把它們建模成一個一個的隨機過程。而生物體本身就是由這些小的四維中的隨機過程所構成的一個穩定的四維區域。這就導出了本章最一開始的結論:生物體是由一大堆不穩定的流動的個體所組成的穩定的Pattern。

進一步,把生物體描述成一個四維空間中的區域的另外一個好處是,可以非常簡捷的解釋Kleiber律,而且還能解釋為什麼生物體的壽命與體重會呈現1/4的冪律關係。這其實很簡單,只要我們假設生物體的質量M並不與它的三維區域的體積成正比,而是與他在四維時空中的區域體積成正比就可以了。這樣,對於一個四維的幾何體來說,很顯然,時間維度會與該四維體的體積呈現1/4的冪律關係,即T \sim M_(1/4) 。而如果我們再把生物體的新陳代謝看作是生物體所對應的三維空間中的體積,那麼自然就有F \sim M_(3/4)關係成立了。因此,我們得到了一種對代謝生態學的非常簡潔的解釋。雖然,目前來看這套解釋還相當粗糙,然而我們有理由相信,如果將四維概率這套工具進一步擴展,應該可以得到更豐富的結論。所有這些都暗示了一套基於流動和時間的統計力學必然存在!

小結

本章我們主要討論了兩方面的內容,第一是最大流原理,我們將最大流原理分成了三個子原理以澄清這方面文獻的混亂局面,分別稱為“最快者生存”、“自加速”和網絡與流動的協同演化原理。這三種原理分別描述了不同情況下的最大流原理。接下來,我們提供了一整套工具,即基於時間和流動的統計力學,雖然目前這套理論還處於雛形階段,但是我們相信這套工具應能最終為最大流原理提供很好的理論解釋,另外,還可能構成代謝生態學的理論基礎。

然而,本章我們並沒有給出最大流的任何解釋,一方面是筆者對這個最終目標還思考的不成熟,另一方面也為進一步的理論研究工作埋下伏筆,我是希望能夠讀到這篇文章的讀者跟我一起實現這個目標。儘管我沒有給出最終的解釋,但是我已經對未來前進的方向有了一個比較模糊的圖景。下面我來簡單敘述一下這張路線圖:

首先,我們需要進一步開發四維概率這個工具,把它真正轉變成一個可以實用的數學工具。接下來,仿照經典平衡態的統計力學,我們需要建立起一套基於時間和流動的統計力學。而這套新的統計理論必然需要用四維概率作為其基礎。其次,我們應該能夠攻克第一最大流原理,即最快者生存原理。我們猜想,所謂的最快者生存其實就是流動越快的系統它所具有的四維概率越大,因此,最快者也就是最可能者,我們將可以導出一套達爾文進化論的統計力學解釋,從而完成玻爾茲曼的最終夙願。

之後,就是第二最大流原理,即“自加速原理”,其實這第二原理和第一原理存在着簡單的聯繫。只要我們採取系綜的概念,不難發現第二原理其實是第一原理的一個推論。

圖16 系綜的演化與最可能路徑
为了说明第二最大流原理,我们不妨假想,对于一个给定的网络,它的初始条件是给定的,然后我们让它进行演化,这样它就得到了一个演化路径和演化结果。同样,我们可以再一次重复这个网络演化试验,从相似的初始条件开始,但是由于演化规则中存在着随机性,这就导致了一条不一样的演化路径。我们不停重复下去,就会得到一组演化路径。正如上一章中的硬币的例子一样,最终我们实际上得到了一组系统的演化,即统计系综。这组系统可以看作是系综相空间中的一种广义的流动。因此,在这个广义的流动中,这些流动也会遵循第一最大流原理,即最快的流动路径拥有更大的概率。因此,我们看到的最终路径(其实我们并没有作那么多次重复试验,只是随机抽样一次。)就刚好是那条最可能的路径。而这条路经有可能具有自加速现象。
       

最後,第三最大流原理其實是經典統計力學和基於流動的統計力學的混合物。即在這種系統中,既存在着時間上的最可能者生存,又存在着空間上的最可能者生存,因此隨機過程將儘可能地佔領更大的空間和更快的時間。很顯然,這種最大流原理更具有普遍性,然而,對他的理解需要我們征服前兩種最大流原理才能完成。

這一章還有一個微妙的理論問題沒有討論,這就是最大流原理最大化的究竟是什麼流?能量流?物質流?信息流?在一個各種各樣的流都存在的系統中,究竟哪一種流被最大化了?這個問題其實已經有很好的答案了,也就是說這個被最大化的流不是物質、能量也不是信息,而是熵流。精確地講,應該是熵流被最大化了,熵被最快速的產生了。我們將在下一章繼續討論這個問題。

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