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然而,這個前提是有問題的,對於一般的流網絡來說,η反映的是網絡結構的特徵,而非增長的特徵。也就是說<math>C_i\propto T_i^{\eta}</math>並不能保證<math>TST\propto IS^{\eta}</math>的成立,網絡的異速標度與異速生長不是一回事。

因此,我們認為η刻畫的是網絡的結構特徵,而非動態的特徵。在樹的異速標度律研究中,我們已經看到當樹的層數越多越瘦長的時候,網絡的η越高,而越扁平的樹,指數η越低。如果我們將一棵樹理解成一個公司的組織結構的話,那麼η越大的公司它的等級結構越森嚴,權利集中在大老闆手裡,如果η越小,則公司的管理越扁平化。所以,我們認為η刻畫的是網絡的集中性程度。

這種討論也適用於一般的流網絡。由於我們將C<sub>i</sub>描述為i節點對整個網絡的影響程度,而A<sub>i</sub>描述的則是i節點的直接流量。還用公司的比喻來說,A<sub>i</sub>說的是員工i手頭所掌握的直接資源(可支配的錢、人),而C<sub>i</sub>描述的是他在整個公司中的實際權力。這樣<math>C_i\propto A_i^{\eta}</math>成立,就意味着隨着i的升遷(A<sub>i</sub>越來越大),它的實際權力增長的相對速度大小。η越小則增長得越慢,因此組織比較扁平化(即使大老闆的能力也不見得很大),η越大則增長越快,因此組織更加集中化。

例如,有兩個網絡具有相同的節點數,它們的A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>分別是:A<sub>i</sub>(1)={1,2,3,4,5}, C<sub>i</sub>(1)={1,2,3,4,5}, A<sub>i</sub>(2)={1,2,3,4,5}, C<sub>i</sub>(2)={1,4,9,16,25}。也就是說這兩個網絡的A<sub>i</sub>分布都一樣,但是第一個網的η=1,第二個的是2。那麼第一個網絡中的最大節點擁有的實際權力是5,佔全部網絡的1/3,而第二個的是25,佔全部網絡的25/55=0.45比第一個網大很多。因此,第二個網絡結構更加集中化。

因此,我們說,η刻畫的是網絡的中心化程度。擴展到流網絡以後的異速標度律數值η取值範圍不再局限在1到2之間,而是可以取全部實數,因此,我們根據η的範圍將全部網絡分為三大類:

  1. 當η>1,網絡是中心化的
  2. 當η<1,網絡是去中心化的
  3. 當η=1,網絡是中性的

目錄

各種流網絡的異速標度律

下面我們來列舉各種流網絡的異速標度律情況:

生態流量網

文獻<ref name="scalingbehavior"/>研究了21個生態流網絡的異速標度律情況,如下圖所示:

Ecologicalnetworkallometry.PNG

圖示了4個生態流網絡的異速標度律在雙對數坐標系下的擬合情況。我們可以看出,對於這四個網絡來說,A<sub>i</sub>、C<sub>i</sub>的散點分布得非常接近於異速標度律那條直線,而且斜率,也就是冪指數η非常接近於1。下表則列出了更多的生態流網絡的異速標度律:

Ecologicalnetworkallometry21.PNG

我們看到,幾乎所有的生態流網絡遵循異速標度律的情況都比較好,而且冪指數η很接近於1,同時比1大一點點。但也有少數的網絡冪指數小於1或大於1。我們說生態流網絡幾乎都是中性的。

點擊流網絡

我們來看第二種網絡:點擊流網絡<ref name="wulingfei">Wu, Lingfei; Zhang, Jiang (2013). "The decentralized flow structure of clickstreams on the web". European Physics Journal B 86: 266.</ref>。這裡的三個點擊流網絡都是文章<ref name="wulingfei"/>作者在不同時間從Alax網站獲得的流量數據,包含了全部互聯網上流量排名前1000名的所有網站。但是由於Alax網站數據的限制,每個網站的出度僅僅是10,也就是說我們只能獲得從該節點流出的10條邊的數據。下圖展示了這三個網絡A<sub>i</sub>、C<sub>i</sub>數據點畫在雙對數坐標系下的情況:


Clickstreamalexallometry.PNG

該圖中不同顏色的數據點對應了三個不同的網絡。這三個網絡也是符合異速標度律的,它們的冪指數分別是0.95,0.92和0.96,它們都是小於1的,也就是說這些點擊流構成的流網絡是去中心化的。

國際貿易網

作為對比,我們再來考察另一種流網絡:國際貿易網,用同樣的方法可以得到2000年國際貿易網全網的異速標度指數η大約等於1.02,也是非常接近1的,即是一種中性的網絡<ref name="shipeiteng"/>。

有趣的是,國際貿易網中的流量數據還包含了具體的產品種類,也就是說,我們可以按照產品種類的不同而把原始的國際貿易流量網分解成一系列的子流網絡,每個子網絡對應一種產品,參見國際貿易網。我們可以分別計算這些產品對應流網絡的異速標度律,從而計算它們的異速標度指數。

Tradenetworkallometrypowergenerator.PNG

該圖展示的是Power-generating equipment即發電設備這種產品的異速標度律圖,其中冪指數η=1.14顯著大於1。下圖展示了該商品的貿易網絡:

Tradenetworkpowergenerator.PNG

我們看到少數幾個大國(美國、日本等國)作為大的出口國控制了整個網絡,該網絡屬於中心化的。

與此形成對比的是蔬菜和水果這類產品構成的貿易網絡,如圖:

Tradenetworkvegetable.PNG

在該網絡中,那些大節點(流量A<sub>i</sub>大,如美國、德國)基本都是進口國,即貿易逆差的國家(紅色節點)。也就是說它們處於整個蔬菜水果貿易的末端,因此,流經它們的商品在整個網絡中不會有很大的影響範圍,所以它們的C<sub>i</sub>不會太大,這樣,該網絡就會具有較小的冪指數,事實上該網絡的η=1.04,遠比發電設備產品的冪指數小。

進一步,文章作者對將近800種商品子網絡計算了η,得到了下面的統計圖:

Tradenetworketadistribution.PNG

該圖的橫坐標是η數值,縱坐標是該數值在這800個商品網絡中出現的頻率。通過這張圖,我們能看出大部分商品的η值集中在1.09附近,也就是說這些產品的貿易網絡大體上是中心化的。

該文作者將頻率又塗上了不同的柱狀,以便表示不同的商品大分類所具備的η值範圍。我們看到,大部分的工業產品集中在圖形的右側(右圖),而農產品集中在左側。所以,工業品所構成的貿易網絡更加中心化——即少數國家控制了工業品的貿易流。

另外一個有趣的現象是:雖然平均來看大部分產品都是比較中心化的,但是由這些子網絡合起來的整個貿易網卻是比較中性的。一個可能的原因是,不同種產品的貿易可能存在着互相取長補短的作用。雖然對於A,B兩種產品來說,它們都是由少數幾個大國控制的中心化的網絡,但是將A貿易網與B貿易網合在一起的時候,整個網絡卻沒有那麼中心化。一個可能的原因是:控制A產品的國家剛好不能控制B,而控制B的國家剛好短缺A,因此這兩種網絡合起來以後就沒有哪個國家控制了全部的產品。因此,整個貿易網就是一種中性的結構。

綜合

綜合上述三種網絡,我們可以得到下表:

網絡 η 中心化與否 含義
生態流網絡 ≈1 中性的 大物種在網絡中的控制力與該物種的流量成比例
點擊流網絡 <1 去中心化的 大網站的影響力沒有達到與流量匹配的程度
國際貿易網全網 ≈1 中性的 大國在貿易中的控制力與該國的流量成比例
工業產品貿易網 >1 中心化的 大國在貿易中的地位遠超過了與流量匹配的程度
農業等基礎產品貿易網 <≈1 去中心化的 大國的影響力沒有達到與流量匹配的程度

影響η指數的因素

我們已經看到不同流網絡具有不同的η指數,有的時候大於1,有的時候小於1。然而,是什麼影響了網絡的異速標度指數η呢?文章<ref name="zhang"/>揭示了這個問題:雖然網絡的拓撲結構也會影響冪指數η,但是,在流網絡中,起到最關鍵作用的因素還要數網絡的耗散律指數,而非網絡的拓撲結構。這個結果多少有些反直覺。

耗散律

首先,需要指出,很多流網絡都具有耗散律這一普適的規律。耗散律這一詞條給出了詳細的說明和結果展示。那麼,影響η的各種因素中,耗散律指數γ起到了最關鍵的作用。為什麼會是這樣呢?讓我們以一維的鏈為例來對此進行說明。

一維鏈結構

Chainexample.png

我們考慮如上圖所示的一維鏈狀結構,因為它比較簡單,方便我們分析。

假設鏈狀結構的耗散滿足耗散律,即:

<math> D_i=c (T_i)^{\gamma} </math>

並且,每個節點都滿足流量平衡,即:

<math> T_i=D_{i}+T_{i+1}=cT_i^{\gamma}+T_{i+1} </math>

利用這個遞推關係,能夠得到:

<math> T_i=\sum_{j=i}^ND_j </math>

對於這樣的一維鏈狀結構,我們又知道每個節點的C<sub>i</sub>剛好就是i右側所有節點的T<sub>i</sub>之和:

<math> C_i=\sum_{j=i}^{N}T_j=\frac{1}{c^{1/\gamma}}\sum_{j=i}^{N}D_j^{\frac{1}{\gamma}} </math>

我們看到,T<sub>i</sub>是i右側節點的各個節點的耗散的總和,而C<sub>i</sub>則是右側節點耗散的1/γ次冪的總和。因此,若γ>1,那麼隨着節點沿着網絡向左移動,T<sub>i</sub>會比C<sub>i</sub>長得快;反之,若γ<1,則T<sub>i</sub>會比C<sub>i</sub>長得慢。

假設網絡滿足異速標度律,即:

<math> C_i=b T_i^{\eta} </math>

其中,b是常數,那麼,我們得到:

<math> \frac{1}{c^{1/\gamma}}\sum_{j=i}^{N}D_j^{\frac{1}{\gamma}}=b(\sum_{j=i}^ND_j)^{\eta} </math>

若γ>1,則<math>\sum_{j=i}^{N}D_j^{\frac{1}{\gamma}}<N^{1-\frac{1}{\gamma}}(\sum_{j=i}^{N}D_j)^{\frac{1}{\gamma}}</math>,所以:

<math>b(\sum_{j=i}^ND_j)^{\eta}<N^{1-\frac{1}{\gamma}}(\sum_{j=i}^{N}D_j)^{\frac{1}{\gamma}}</math>

若我們忽略常數(事實上我們僅僅關心隨着i的變化問題,所以常數可以忽略),則可以近似地得到:<math>\eta<\frac{1}{\gamma}</math>。同樣的道理,我們可以得到,當γ>1的時候,會有:<math>\eta>\frac{1}{\gamma}</math>。而當γ=1的時候,η=1,這樣,綜合起來就有:

<math> \eta \left \{\begin{array}{lll} <\frac{1}{\gamma} & \mbox {if } \gamma>1, \\

>\frac{1}{\gamma} & \mbox {if } \gamma<1,\\

=1 & \mbox {if } \gamma=1 \end{array}\right. </math>

通俗地說,耗散律指數越大,左側的大流量節點就會把越少的能量投入到後續的網絡節點上,這樣從該節點出發的紅色粒子總量就會減少,因此C<sub>i</sub>也就相應減少了。

生態流網絡

下面,我們來考察真實的生態流網絡中耗散律指數與異速標度指數的關係<ref name="zhang">Zhang, Jiang; Wu, Lingfei (2013). "Allometry and Dissipation of Ecological Flow Networks". Plos One. http://arxiv.org/abs/1302.5803.</ref>。

Gammaandetaecologicalnetwork.PNG

該圖展示了19個生態流網絡的耗散律指數γ與異速標度律指數η之間的關係,其中藍色的線為原始數據點,而紅色的線是經過算法調整,去除原始數據噪音後的結果。我們看到了兩個指數存在着明顯的負相關。但是,我們由於有噪聲的存在,以及網絡的結構的影響,因此,這兩個指數的負相關並不嚴格成立。

國際貿易網

接下來,我們來研究國際貿易網的耗散律指數與異速標度指數的負相關。在國際貿易網中,由於我們可以根據不同商品而得到不同的流網絡,對於每個子網絡都可以計算耗散律指數和異速標度律指數,因此,我們可以把這些子網絡所對應的數據點列出來畫在坐標系下,如下圖所示:

Gammaandetainternationaltrade.png

從該圖中可以觀察到,耗散律指數與異速標度律指數之間的負相關關係很明顯。

網絡結構

樹的異速標度律中,我們已經看到了不同的樹狀結構會帶來不同的異速標度律指數。但是,當我們綜合考慮網絡拓撲結構和流量分布的時候,耗散律指數對異速標度指數的影響更加顯著、明顯。具體結果請參看文獻<ref name="zhang"/>中的補充材料。

魯棒性與異速標度律

上面的討論指出,流網絡的異速標度律刻畫了網絡的中心化的程度。指數η>1,則表示網絡是中心化的,而η<1則表示網絡是去中心化的。所謂的中心化程度可以理解為網絡的權力集中程度。因此η越大,則網絡的中央集權性就越高。

我們的一個直覺認識是,集中程度越高的網絡越脆弱,也就是網絡的魯棒性就會越差。由於大量的資源集中在少數人的手中,這樣只要是有意的攻擊這些大尺度節點就會很容易地摧毀整個網絡。這樣,如果η刻畫了流網絡的集中性程度,那麼,顯然η也會跟網絡的魯棒性存在着聯繫。也就是η越高,流網絡中心化的趨勢越明顯,那麼網絡的抗攻擊性,也就是魯棒性就會越差。這種直覺認識是對的嗎?我們必須找到能夠定量刻畫魯棒性的手段。

流網絡的魯棒性

複雜網絡的魯棒性問題是一個複雜網絡研究中的重要問題。人們研究魯棒性的通常做法是對網絡進行攻擊——即刪除節點,然後考察網絡的各種性質——如連通性隨着節點的刪除是如何變化的。刪除節點的做法通常有兩種:1、隨機刪除節點;2、蓄意攻擊,即先刪除重要節點(通常是度大的節點),然後刪除不重要的節點……。

對於我們要研究的流網絡,我們也可以採取類似的方式:蓄意攻擊,即刪除流量大的節點,看整個網絡的流量受影響的程度如何變化。假如網絡的魯棒性越高,那麼它對我們刪除節點的操作並不敏感,這樣,即使毀掉了網絡的80%的節點,網絡整個流量的變化可能也就達到了20%;而如果網絡魯棒性差,那麼也許刪除了僅僅10%的節點,整個網絡的流量只剩下原來的1%都不到了。因此,我們可以用總流量達到原始流量1%的時候所對應的刪除節點的百分比來作為整個流網絡魯棒性的衡量標準

具體地,我們採用如下算法來計算流網絡的魯棒性:

 1、输入流量网络F,以及对应的马尔科夫链M,将所有节点(不包括源和汇)按照它们的流量大小T<sub>i</sub>进行从大到小排序构成列表L;
 2、从流网络F中删除L中的前i个节点,具体做法是:
    2.1. 将M中每个删除节点所对应的列都设置为0,得到M'
    2.2  根据方程T'M'+S'=T',得到新的各个节点的流量分布:T'。其中S'为源到除去删除节点以外各个节点的流量。
    2.3  计算整个网络总流量减少的百分比Δ=(ΣT-ΣT')/ΣT
 3、如果Δ大于给定的阈值(如0.1),则回到2,继续删除节点
 4、否则计算出已删除节点的比例r,则r就是流网络的鲁棒性。

為了看清楚網絡的異速標度律與魯棒性的關係,我們還是先看一種非常簡單的網絡:樹。首先,我們按照文獻<ref name="trees">Frank, F.; Murrell, D. (2005). "A simple explanation for universal scaling rela- tions in food webs". Ecology 86: 325-3263.</ref>中的模型,通過調整參數β和θ,生成了各種形狀的樹。然後我們計算這些樹的異速標度律指數與網絡的魯棒性之間的關係,得到下圖:

Etaandrobustnesstrees.png

我們可以清楚地看出異速標度律指數η與魯棒性之間的負相關。其中紅色擬合直線的斜率為-7.26。

生態流網絡

下面我們考察實際的生態流網絡與網絡魯棒性之間的關係。還是採用上述21個生態流網絡,我們將它們的異速標度律指數和魯棒性的關係畫出來如下圖:

Etarobustecological.png

我們看到η和r的確存在着負相關,但是這種相關性並不十分顯著,這可能是跟因為魯棒性指標對於網絡的結構而非流量的分布更敏感。

國際貿易網

下面我們再來考察不同商品構成的貿易流網絡的η與魯棒性r之間的關係:

Etaandrobustnessinternationaltrade.png

對於不同商品的國際貿易網絡來說,這種異速標度律指數與魯棒性r之間的關係從圖形上看,似乎更加明顯。

參考文獻

<references/>

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