流網絡的引力定律

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所謂流網絡的引力定律是指任意邊上的流量與該連邊兩個頂點上的流量的乘積具有冪律關係。假設一條i,j連邊上的流量是fij,i上的流量是Ti,j上的流量是Tj,那麼萬有引力定律可以寫為:


f_{ij}\propto (T_i T_j)^{\alpha}

有時,為了能夠更好地擬合真實數據,我們也採用雙參數擬合,也就是寫成下式:


f_{ij}\propto T_i^{\alpha}T_j^{\beta}

式中有兩個冪律指數αβ分別擬合ij連邊的起始點i的流量和終點j的流量對ij連邊流量的預測貢獻。

目錄

引力定律

我們都熟悉,牛頓著名的萬有引力公式可以表達為:


f_{ij}=\frac{Gm_im_j}{r_{ij}^2}

其中fij為兩個物體i和j之間的萬有引力,mi和mj分別表示兩個物體的質量,rij表示兩個物體之間的距離。

有意思的是,在複雜系統中,這個公式也普遍成立。例如,在城市系統中,任意兩個城市之間的交通流、物資流遵循類似的萬有引力公式[1]


f_{ij}=k\frac{(P_iP_j)^{\alpha}}{r_{ij}^{\beta}}

這裡的fij為兩個城市之間的流量(交通流、通訊流等等)。Pi和Pj分別表示各個城市的人口,rij表示兩個城市之間的距離。k是一個類似萬有引力常數一樣的常數。α和β是兩個需要擬合的指數。與牛頓的萬有引力不同,兩城市之間的流量可能不與城市人口乘積剛好呈正比。同樣的道理,對於距離也不一定呈二次方反比,而有可能是任意的指數α和β(可能依不同國家的城市系統而不同)。

人們也曾嘗試用萬有引力來擬合任意兩個國家之間的貿易流動,但是發現,標準的萬有引力形式可能並不能很好地擬合,而如果對該公式進行擴展則有可能擬合得很好[2]。更多討論請參看複雜系統中的引力定律

在通常的流網絡中,節點之間是不存在空間距離的,但是,類似的萬有引力公式仍然成立。所謂流網絡的萬有引力定律是指任意邊上的流量與該連邊兩個頂點上的流量的乘積具有冪律關係。假設一條i,j連邊上的流量是fij,i上的流量是Ti,j上的流量是Tj,那麼萬有引力定律可以寫為:


f_{ij}=c (T_i T_j)^{\alpha}

(Template:EquationRef)

其中c為常數,α為引力指數。有時,為了能夠更好地擬合真實數據,我們也採用雙參數擬合,也就是寫成下式:


f_{ij}=c T_i^{\alpha}T_j^{\beta}

(Template:EquationRef)

其中,有兩個冪律指數αβ分別擬合ij連邊的起始點i的流量和終點j的流量對ij連邊流量的預測貢獻。採用不同的指數α和β表明流動中起點和終點的非對稱性。

各種實證網絡的引力定律

生態流網絡

生態流網絡中,每條邊上的流量對應的是物種之間由於捕食關係而發生的能量轉移。對於實證網絡來說,我們發現eq1普遍成立。例如,下圖展示的就是Mondego Estuary - Zostrea site(簡稱Mondego網)的用eq1式表達的引力定律[3]

Ecologicalgravity.PNG

其中,擬合的指數為0.5868,R2達到了0.85。而下圖則展示的是由eq2表達的引力定律。

Ecologicalgravity2.PNG

我們看到,這張圖的效果會稍好一些,R2達到了0.86,這說明生態流網絡的引力定律具有一定的不對稱性。但是這種不對稱性並不明顯,這體現在兩個指數的差異上並不大。

我們進一步考察了可獲得的19個生態流網絡的引力定律的擬合數據,見下表

網絡名稱 單變量引力指數 單變量R2 雙變量引力指數α 雙變量引力指數β 雙變量R2
CrystalD 0.63 0.70 0.57 0.75 0.74
CrystalC 0.53 0.65 0.50 0.57 0.65
Chesapeake 0.68 0.84 0.62 0.77 0.85
ChesLower 0.70 0.75 0.61 0.84 0.76
ChesMiddle 0.67 0.77 0.60 0.78 0.78
ChesUpper 0.64 0.64 0.62 0.67 0.64
Narragan 0.54 0.81 0.49 0.60 0.81
Michigan 0.62 0.86 0.57 0.72 0.87
StMarks 0.68 0.74 0.76 0.56 0.75
Mondego 0.79 0.85 0.83 0.70 0.86
Cypwet 0.70 0.84 0.85 0.55 0.87
Cypdry 0.68 0.81 0.81 0.57 0.83
Gramdry 0.66 0.76 0.61 0.73 0.77
Gramwet 0.71 0.81 0.66 0.79 0.81
Mangdry 0.58 0.77 0.60 0.56 0.77
Mangwet 0.59 0.77 0.60 0.57 0.77
Baywet 0.62 0.79 0.67 0.54 0.80
Baydry 0.61 0.78 0.68 0.52 0.78
Florida 0.62 0.79 0.67 0.54 0.80

首先,我們觀察到,該表中所有生物流網絡的R2都顯著大於0.5,說明,引力定律都存在。其次,雙變量指數αβ的差別不大。這說明引力定律基本是對稱的。

國際貿易網

我們研究了國際貿易網的引力定律。例如,用1971的數據來看,引力定律大體成立:

1971年的引力定律

在圖中,淺藍色的點為原始數據點,紅色的方框為對原始數據進行Log Bin處理以後的數據。這種處理就是將整個數據劃分成log軸上均等的小區間,然後用每個小區間中的數據點的平均值作為y值,這樣可以把原始數據的噪聲消除掉,以使得趨勢更加明顯。對原始數據進行OLS估計以及對Log Bin處理後的數據做OLS回歸,就得到兩條直線(黑色的點劃線和紅色的直線)。注意,對於國際貿易網來說,引力指數基本都大於1.

如果採用方程eq2,則我們可以得到下圖:

Tradenetworkgravitylaw2.png

圖中平面的方程是:f_{ij}=\exp(-22.8513)T_i^{0.9874}T_j^{1.1043},R方為0.4938,指數β比α稍大,表示兩國之間的貿易流fij更敏感地依賴於入口國的總貿易流量。我們計算了從1971年到2000年(不包括1990年)的所有的擬合指數以及R方,如下圖:

指數以及RSquare隨時間的變化

我們看到隨着時間的增長,引力定律的擬合優度越來越強,這說明國際貿易網絡的整體演化越來越趨近於引力定律所描述的自組織規律,而所有的指數都大體上趨近於1。

投入產出網

點擊流網

參考文獻

  1. 陳, 彥光 (2008). 分形城市系統:標度·對稱·空間複雜性. 科學出版社.
  2. Anderson, J. E. (2011). "The gravity model". Annual Review of Economics 3: 133-160.
  3. Zhang, Jiang (2012). [http://arxiv.org/abs/1208.1560 Common Patterns of Energy Flow and Biomass Distribution on Weighted Food Webs]. http://arxiv.org/abs/1208.1560.


相關WIKI

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