小世界網絡

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小世界網絡的例子 中心比其他節點大 平均3.833 平均最短路徑長度1.803 聚類係數0.522
隨機圖 平均2.833 平均最短路徑長度2.109 聚類係數0.167

小世界網絡是一種數學圖。在此類圖中,絕大多數節點彼此之間並不相鄰,但任一給定節點的鄰居們卻很可能彼此是鄰居,並且大多數節點都可以從任意其他節點,用較少的步或跳躍訪問到。具體來說,小世界網絡的定義如下:如果網絡中隨機選擇的兩個節點之間的距離L(即訪問彼此所需要的步數),與網絡中節點數量N的對數成比例增長,(即[1]: L \propto \log N),且網絡的集聚係數(Clustering Coefficient)不小,那麼,這樣的網絡就是小世界網絡。在社交網絡中,這種網絡屬性意味着一些彼此並不相識的人,可以通過一條很短的熟人鏈條被聯繫在一起,這也就是小世界現象。許多經驗網絡圖都展示出了小世界現象,例如社交網絡互聯網的底層架構、諸如Wikipedia的百科類網站以及基因網絡等等。

1998年,Duncan WattsSteven Strogatz提出,小世界網絡是一類隨機圖[2]。他們指出,這類網絡圖可以通過兩個獨立的結構特徵,即集聚係數和平均節點間距離(也稱作平均最短路徑長度)來進行識別。根據Erdős-Rényi(ER)模型構造的純隨機圖,會展現出較小的最短路徑長度(通常隨着節點數對數值的變化而變化)以及較小的集聚係數。WattsStrogatz驗證了這一點,事實上,現實世界中很多網絡的平均最短路徑長度都較短,而集聚係數又遠高於普通隨機圖。Watts和Strogatz隨後提出了一種新的圖模型(即現在的Watts-Strogatz模型),該模型具備兩個特徵:(1)平均最短路徑長度較小,(2)集聚係數較大。1999年,Barthelemy和Amaral最先描述出了Watts-Strogatz模型中「大世界」(諸如柵格網絡)與小世界的交叉點性質[3]。在此之後,學界又湧現出了大量的相關研究,其中不乏一些較為精確的度量結果 (Barrat and Weigt, 1999; Dorogovtsev and Mendes; Barmpoutis and Murray, 2010)。 Braunstein發現[4],對於權值分佈非常廣的加權ER網絡,最佳路徑長度會顯著增長,其增長速度為N^{\frac{1}{3}}.

目錄

小世界網絡的性質

小世界網絡中往往會包含(cliques)以及臨近團(near-cliques)——此處的「團」,指的是內部幾乎任意兩個節點之間都存在連接的子網絡。這遵循高集聚係數的定義屬性。其次,大多數節點對之間,都至少存在一條短路徑。這遵循平均最短路徑較小的定義屬性。許多其他屬性,通常也會與小世界網絡有所關聯。通常情況下,網絡中會存在很多的中心(hub)——它們是具有很高連接數的節點(即高(Degree)節點)。這些中心扮演了公共連接的角色,縮短了其他邊之間的短路徑長度。通過對比,航空航班的小世界網絡,都體現出了較短的平均路徑長度(例如,在任意兩個城市之間飛行,你通常可能只需要乘坐三程或更少的航班數),因為很多航線都可以通過樞紐城市進行中轉。這一屬性的分析,通常要考慮網絡中,具有相同入度的節點的比例(網絡的度的分佈)。網絡具有較多中心(hub),意味着度值較大的節點佔比會更高,因此,在這種網絡的度分佈中,高度值分佈更高,即俗稱的厚尾分佈(fat-tailed distribution)。具有不同拓撲結構的圖,只要滿足上述兩個定義,就可以被定義為小世界網絡。

網絡的小世界性被量化為一個係數 σ,可以通過比較給定網絡與具備相同度分佈的等價網絡的集聚係數與路徑長度,計算得出[5][6]

\sigma = \cfrac { \frac {C} {C_r} } { \frac {L} {L_r} }

如果  \sigma > {1}(  C \gg C_r ,且L \approx L_r), 網絡即為小世界網絡

另一個量化網絡小世界性的方法,是利用小世界網絡的原始定義,比較給定網絡與等價隨機網格網絡的集聚係數及路徑長度[7]。小世界所用的度量(ω)定義如下[8]

 \omega =  \frac{L_r}{L}-\frac{C}{C_l}

其中,對於所選受測網絡而言,L是特徵路徑長度,C是集聚係數。C_l是等價柵格網絡的集聚係數, 而L_r則是等價隨機網絡的的特徵路徑長度。

R. Cohen和Havlin分析出[9][10]無標度網絡是超小世界。在這種情況下,由於中心的存在,最短路徑會變得非常小,並且滿足如下關係:

 L \propto \log{\log N}

結果表明,在存在白噪音的小世界網絡中,會出現隨機同步,這意味着,白噪音有助於系統針對中等噪聲強度進行更好地同步,而非減少噪音[11][12]。這種現象,與白噪音在隨機圖無標度網絡中的效果形成了鮮明的對比,即應用噪聲會降低這些網絡中的同步幅度。

小世界網絡例子

在現實世界的很多現象中,都能夠看到小世界屬性,這包括網絡中的導航菜單、食物網、電網、代謝處理網絡(metabolite processing networks)、腦神經網絡、選民網絡、電話呼叫圖、社交影響網絡等等。文化網絡[13]與單詞共現網絡[14]也被證明是小世界網絡。

相連的蛋白質網絡同樣具有小世界性質,例如遵從冪律的度分佈。[15]類似地還有轉錄網絡,其節點為基因,如果某一個基因對另一個基因有上調或下調的遺傳影響,且這些基因彼此相連,這一網絡就具有小世界網絡的性質。[16]

非小世界網絡例子

另一個例子就是人與人之間的「六度分離」理論,這裡默認的適用領域是一群在任意時刻都活着的人。阿爾伯特·愛因斯坦亞歷山大大帝之間的分離度,幾乎肯定是大於30的[17],而且這個世界並不具備小世界屬性。一個同樣不具備小世界性質的網絡還有「曾去同一家學校上學」的網絡:如果兩個人加入某一所大學的時間差了10年,他們不太可能在學生團體中有共同的熟人。

類似的,消息傳播過程中必須要通過的中繼站點的數量並不總是很小的。回溯到郵件還需要手工投遞或騎馬寄送的時期,一封信件從它的起點到終點所需要轉手的次數,會比現在大上很多。可視電報(約存在於1800-1850年)時代,消息易手的次數,要由兩個站點之間是否是在視線連接範圍內決定。

如果沒有檢驗隱含假設,可能會對圖「望圖生義」,偏向於尋找小世界網絡(一個例子就是發表性偏倚導致的文件抽屜問題(file drawer))。

網絡魯棒性(Network robustness)

Barabási等研究人員提出假設,認為小世界網絡在生物系統中的普遍存在,可能反映了這種結構的進化優勢。一種可能性是,小世界網絡相比其他網絡架構,對擾動的魯棒性更強。如果這種假設成立,小世界網絡將為受到突變病毒感染損害的生物系統提供優勢。

在一個具備遵循冪律分佈現象的度分佈的小世界網絡中,隨機刪除節點,極少能導致平均最短路徑長度顯著增加(或集聚係數的顯著降低)。這是因為,節點之間的最短路徑通過中心點流動,而且,如果一個外圍節點被刪除,不太可能干擾其他外圍節點之間的通路。由於小世界網絡中,外圍節點的比例要遠高於中心的比例,因此,刪除重要節點的概率非常低。例如,如果愛達荷州太陽谷的小型機場被關閉,不會增加在美國旅行的其他乘客到達各自目的地所需的平均航次。但是,如果隨機刪除的節點是中心樞紐,那麼平均路徑長度就會急劇增加。每年都可以看到,當芝加哥奧黑爾機場等北部樞紐因大雪關閉時,經常會出現這種狀況;許多乘客不得不搭乘更多航班,以達到目的地。

相反,在隨機網絡中,所有節點具有數量大致相同的連接,隨機刪除節點可能會略微增加平均最短距離,但刪除任意節點都會帶來這樣的影響。從這個意義上來講,隨機網絡容易受到隨機擾動的影響,而小世界網絡則具備魯棒性。但是,小世界網絡容易受到針對中心的攻擊,而目標攻擊無法對隨機網絡造成災難性故障。

病毒已經進化到可以干擾中樞蛋白的活動,諸如p53,並因此產生有利於病毒複製的細胞行為的巨大變化。滲流理論是分析網絡魯棒性的一個有效方法。

構建小世界網絡

構建小世界網絡的主要機制是Watts-Strogatz機制

小世界網絡也可引入延時[18],這不僅會產生分形,而且在特定條件下,還會形成混沌[19],或者在動態網絡中轉變為混沌[20]

構造度直徑圖(Degree–diameter graph)的方法是:網絡中每個頂點的鄰居數量是有界的,而網絡中從任意給定頂點到其他頂點(網絡直徑)是最小的。構建這樣的小世界網絡,其實是為尋找臨近摩爾邊界的圖的秩,而做出的一部分努力。

Barmpoutis等人給出的從零開始構建小世界網絡的另外一種方法[21],構建了一種平均距離極小且平均集聚度極高的網絡。他們提到了一種複雜度恆定的快速算法,以及不同生成圖魯棒性的度量。根據每個網絡的應用,可以從一個這樣的「超小世界」網絡開始,然後重新連接一些邊,或者使用幾個這樣的小網絡作為子圖,構築一個更大的圖。

通過雙相演化(dual-phase evolution)過程,小世界屬性可以在社交網絡和其他現實世界系統中自然產生。在頂點之間的連接增長受到時間或空間的制約時,小世界網絡尤其常見。該機制通常涉及相位之間的周期性變換,其中,在「全局」階段——連接建立,而在「本地」階段——連接被移除。

參考:擴散限制凝聚模式構成

構建小世界網絡代碼實現

使用networkx生成小世界網絡

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
 
# WS network
# 生成20个节点的小世界网络
# 每个节点有四个邻居
# 每条连边以0.3的概率随机重置链接
WS = nx.random_graphs.watts_strogatz_graph(20, 4, 0.3)
pos = nx.circular_layout(WS)
nx.draw(WS, pos, with_labels = False, node_size = 30)
plt.show()

此時得到的圖片是下圖所示:

Networksx包生成的小世界網絡.png

使用原生方法x生成小世界網絡

G = nx.Graph()
node_num = 20
neighbour_num = 4
probility = 0.3
# 节点与邻居相连
for i in range(node_num):
    from_node = i
    for j in range(neighbour_num):
        to_node = (i+j) % node_num - neighbour_num / 2
        if to_node >= 0:
            to_node += 1
        G.add_edge(from_node,to_node)
# 连边随机重连
edges = copy.deepcopy(G.edges())
for edge in edges:
    if random.random() <  probility:
        G.remove_edge(edge[0],edge[1])
        ran_edge = np.random.randint(node_num,size=2).tolist()
        G.add_edge(ran_edge[0],ran_edge[1])
# 绘图
pos = nx.circular_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels = False, node_size = 30)
plt.show()

此時得到的圖片如下圖所示:
原聲方法生成的小世界網絡.png

應用

社會學應用

小世界網絡對社會運動群體的優勢在於,它們由於採用了高度互聯的節點的過濾設備,因而對變化具有一定的抗性,以及它有效地實現了,在中繼信息的同時,保持了連接網絡所需的最少鏈路數」。[22]

William Finnegan在社會學論證提出,小世界網絡可直接適用於親和團體(Affinity Group)理論。親和團體指的是旨在實現某個較大目標或功能的小型半獨立社會運動團體。雖然在節點級別上並沒有嚴格的隸屬架構,但作為連接節點的少數高連接性成員,能夠通過網絡連接組織內的不同群體。這種小世界網絡已被證明是一種極其有效的抗議警察行動的組織策略。[23]Clay Shirky認為,通過小世界網絡創造的社交網絡越大,高連接性結點在網絡內的價值就越高。[22]同理可適用於親和團體模型,即每個團體內只有少數人與外部團體相聯繫,從而極大提高了靈活性和適應性。這方面的一個實踐案例是William Finnegan在概括1999年西雅圖世貿組織抗議活動時,所提到的親和團體中的小世界網絡。

地球科學應用

許多研究地質學和地球物理學的網絡,已被證明具有小世界網絡的特徵。在裂縫系統和多空物質中被定義的網絡,已經顯示出了這些特徵。[24]南加州地區的地震網絡或許就是一個小世界網絡。[25]上述提及的例子所發生的空間尺度大相徑庭,也證明了在地球科學中,這一現象不受空間尺度大小所影響,具備尺度不變性(scale invariance)。氣候網絡或許也可被視作小世界網絡,其中的聯繫具備長度不一的尺度。[26]

計算應用

小世界網絡已被用於估算存儲於大型數據庫中信息的可用性。這種度量方法被稱為「小世界數據變換法」[27][28]數據庫鏈接與小世界網絡對齊度越高,用戶越有可能在將來提取到信息。這種可用性通常以犧牲存儲在同等空間中的信息量為代價來取得。

Freenet比特幣點對點網絡已經被證明在模擬中構築了小世界網絡[29],使得信息的存儲和提取,能夠隨着網絡擴展,而有效擴張。

大腦中的小世界網絡

大腦中連接[30]與皮層神經元的同步網絡[31]都體現出了小世界拓撲結構。

小世界神經元網絡可以呈現出短期記憶。Solla等人提出的計算機模型具有兩個穩定狀態[32][33]——一種被認為在記憶存儲中十分重要的特性(被稱為雙穩態)。激活脈衝在神經元之間產生自我維持的通信活動循環。第二波脈衝則終止這一活動。脈衝讓這一系統在穩定狀態間切換:流動(記錄「記憶」)以及停滯(保留記憶)。小世界神經元網絡也被用於建模,了解病情發作的原理。[34]

在更一般的層次上,大腦中的許多大規模神經網絡,例如視覺系統和腦幹,都體現出了小世界特性。[5]

小世界的連接長度分佈

WS模型包含了一個長域連接的均勻分佈。當連接長度的分佈遵循「冪次現象」分佈時,兩個結點之間平均距離的變化,取決於分佈的冪次。[35]

參見

參考

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