雙曲幾何圖

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一個雙曲幾何圖（HGG）或者說雙曲線幾何網絡（HGN）是一種特殊的 空間網絡其中的節點依照概率密度函數分布在恆定的負曲率雙曲空間上，並且節點間的邊 依照度量函數把距離近的呈現在一起(典型的例子是，單位階躍函數導致的頂點間的距離小於特定閾值，再比如，產生連續概率的雙曲線距離衰減函數), 一個 HGG 泛化了一個嵌入歐氏空間的[隨機幾何圖形]] (RGG)。

數學公式

數學上，HGG 是一個圖 $G(V,E)$，該圖由一個頂點集合V （集合的勢 $N=|V|$）和邊集合E 節點構成。邊節點被視作有恆定負高斯曲率$-\zeta^2$ 以及截止半徑為 $R$ 的二維雙曲空間 $\mathbb{H}^2_{\zeta}$ 上的點,例如可以使用雙曲模型可視化龐加萊圓盤的半徑。每一個點 $i$ 都有雙曲線極坐標 ($r_i,\theta_i$) 其中 $0\leq r_i\leq R$ 並且$0\leq \theta_i < 2\pi$。

餘弦雙曲線法則允許測量$i$和${j}$兩點之間的距離 $d_{ij}$ ,

${\cosh}(\zeta d_{ij})={\cosh}(\zeta r_i){\cosh}(\zeta r_j)-\sinh(\zeta r_i)\sinh(\zeta r_j)\cos\bigg(\underbrace{\pi\!-\!\bigg|\pi-|\theta_i\!-\!\theta_j|\bigg|}_{\Delta}\bigg).$

角度 $\Delta$ 兩個位置矢量之間的（最小）角度。

在最簡單的情況下，邊 $(i,j)$ 能夠建立當且僅當 兩個節點在某個鄰域半徑 $r$ 中, $d_{ij}{\leq} r$ 這對應着起作用的閾值。

連通衰減函數

通常，將根據距離 $d_{ij}$ 依概率建立鏈接。 連通衰減函數 $\gamma(s): \mathbb{R}^+\to[0,1]$ 表示在距離為的地方 $s$ 為一對節點連通邊的概率。

在這個框架中，類似於隨機幾何圖中的硬編碼鄰域的簡單情形被稱為截斷衰減函數。

研究發現

For $\zeta{=}1$ （高斯曲率 $K=-1$），HGG 形成了一個在約束條件下，可能能夠展示大量節點度分布和解析解的網絡 這是值得注意的一點，因為對於許多用圖表示的網絡而言並非如此。

應用

因為通過個體的相似度和流行度之間的抗衡表現出了雙曲性，HGG 被認為是極具希望的社交網絡模型。