Legendre变换

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定义两个函数f(x)和g(y),我们说这两个函数构成Legrendre(勒让德)变换对,就是要求它们满足:


f(x)=\inf_y(xy-g(y))

事实上,如果f(x)和g(y)满足上述定义,我们必然能够推出反关系也成立:


g(y)=\inf_x (xy-f(x))

下面给出一个简略粗糙的说明:

事实上,既然要求xy-g(y)的最小,我们便可将该等式对y求导,令其等于0,我们得到:


g'(y^*)=x

其中,y*就是使得xy-g(y)达到最小的那个y值。不停地变化x,就会得到一个y*关于x的函数y*(x)。我们将这个y*代回去有:


f(x)=y^*(x) x -g(y^*(x))

两边对x求导数,并注意到g'(y*(x))=x这个事实,就得到:


f'(x)=y^*{'}(x) x+y^*(x)-g'(y^*(x)) y^*{'}(x)=y^*{'}(x) x+y^*(x)-x y^*{'}(x)=y^*(x)

我们再将y*(x)看作是一个新的自变量y,而把x看作是因变量x(y),根据f(x)=y^*(x) x -g(y^*(x))就能得到:


g(y)=x(y) f'(x(y))-f(x(y))

我们把x(y)又可以看作是满足方程y=f'(x)的解,这样,上面的等式又可以看作是如下极小值的表达式:


g(y)=\inf_{x}(x y-f(x))

由此得证。


全微分与Legendre变换

设f(x,y),则它的全微分:


df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=pdx+zdy

如果我们将自变量x替换成独立的自变量p,则根据:


dxp=pdx+xdp

有:


d(f-xp)=xdp+zdy

g(p,y)=f(x,y)-xp,则f和g构成了Legendre变换对。这是因为:对于任意的p,必须满足


\frac{\partial f}{\partial x}=p

所以:


0=p-\frac{\partial f}{\partial x}=\partial{(xp-f(x,y))}/\partial{x}

我们又知道g(p,y)=xp-f(x,y) 故而,xp-f(x,y)对x取极值,而这个极值就是g(p,y),即:


g(p,y)=\inf_x (xp-f(x,y))

这是热力学中通常使用的形式。其实如果f(x)是一元函数,也可以找到Legendre变换对,例如f(x)=cx,则它的Legendre变换对为:g(y)=cy/4

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