矩阵的偏迹

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矩阵的偏迹运算是量子力学中的一种特殊的运算,它是一种特殊的矩阵迹运算。只不过这种取迹的过程并不是对全空间展开的,而是对某一个子空间。

定义

如果我们有两个希尔伯特空间分别记为HA和HB,它们可以分别用来表示两个量子系统A和B,那么我们就能对这两个空间做直积运算,从而得到系统A与B的复合系统,记为:


H_{A,B}=H_A\otimes H_B

设空间HA,B中的密度矩阵为ρA,B。再设\{\omega_i|i=1,2,...,N_B\}为空间HB的一组基矢,其中NB为HB空间的维度,那么我们定义ρA,B对子系统B求偏迹为:


\rho_A=Tr_B(\rho_{A,B})=\sum_{i=1}^{N_B}{\langle \omega_i |\rho_{A,B} |\omega_i \rangle}

上式是按照狄拉克记号写的。其中\langle| \rho_{A,B} |\omega_i \rangle表示ρA,B与ωi做内积。但是我们知道,ρA,B是复合希尔伯特空间HA,B中的矩阵,而ωi是空间HB中的变量,所以这两者做内积就比较特殊。

复合空间中的向量与子空间中的向量的内积

为了说明这种内积究竟是如何运算的,我们需要先定义A,B复合系统(复合空间HA,B)中的向量与B空间中的向量做内积是什么意思。假设X是HA,B中的向量。这样X可以写成:


|X\rangle = \sum_{a,b} x_{a,b} |a\rangle \otimes |b\rangle

也就是将X分解为HA,B中的一组基向量的线性叠加。其中|a\rangle \otimes |b\rangle就是任意一个基向量。而a,b分别又是HA和HB的基向量。既然{b}是HB的一组基,那么自然我们可以把HB中的任意一个向量Y分解:



|Y\rangle = \sum_{b} y_b |b\rangle

那么我们定义X与Y的内积为:


\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} \langle a| \otimes \langle b| \cdot \sum_{b} y_b |b\rangle = \sum_{a,b,b'} x*_{a,b} y_{b'} \langle a| \langle b|b' \rangle

注意,我们这里做的就按照狄拉克记号进行展开。另外,由于上式最后需要计算b与b'向量的内积,而我们知道b是HB的一组完全正交基,所以=0当b不等于b\'的时候,而当b=b\'的时候,<b|b\'>=1,所以X与Y的内积可以简化为:


\langle X|Y\rangle = \sum_{a,b} x*_{a,b} y_{b} \langle a|

复合空间中的矩阵与子空间中的向量内积

理解了复合空间中向量与子空间向量的内积就不难理解矩阵与向量的内积了。设ρ为复合空间中的矩阵,则:


\rho_{A,B}=\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \langle a'|) \otimes (|b\rangle \langle b'|) =\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|)

其中a,a'是HA中的一组基,b是HB中的基向量。|><|运算表示向量的直积运算。其中的运算法则就是按照狄拉克记号,把它分解为向量的内积运算:


\langle|Y \rho_{A,B}|Y\rangle=(\sum_b'' y_{b''}* \langle b''|)(\sum_{a,a',b,b'} \rho_{a,a',b,b'} (|a\rangle \otimes |b\rangle) (\langle b' |\otimes \langle a'|))(\sum_b'' y_{b''} |b''\rangle)=\sum_{a,a'}\rho_{a,a',b'',b''} y_{b''}y_{b''}*|a\rangle \langle a|

所以我们不难理解偏迹运算写成矩阵形式相当于:


\sum_{b} \langle \omega_{b} | \rho_{A,B} | \omega_b \rangle=\sum_{a,a',b,b'}\rho_{a,a',b,b'} |a\rangle \langle a'| \langle b|b'\rangle

其中只有那些b=b'的项才能保留下来。这就是复合空间中的矩阵与子空间中的向量做内积的结果。结果是为另外一部分子空间的矩阵,也就是偏迹运算的含义。

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