交互自动机

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所谓的交互自动机是指从观测和交互的角度来对被观测物体进行描述的手段。也就是说,我们将被测物体视为一个可以接受测量属性的自动机,这个自动机可以按照一定的概率法则进行运作,最终输出出相应的测量结果,并完成状态的转移。无论被测物体是确定性的、随机的还是量子的,我们都可以利用交互自动机对其行为进行描述。交互自动机模型是观察者理论的一个基础模型。

目录

测量过程概述

一般地,我们可以把测量过程描述为观察者与被观测物体的一种信息互动,如下图所示:

Measurementprocess.png

在这里,整个系统分成了两部分,一部分是被测物体,它可以是任何东西,还有一部分是观察者O,在这里我们所说的观察者也可以是广义的观察者,可以是人,也可以是动物,甚至是任何无生命的物体。与量子力学不同,我们讨论的并不是客观物理世界的运动规律,我们考虑的是一个观察主体与被观测世界信息之间的相互交流。因此,观察者可以是任何东西。

实箭头测量过程表示观察者从被测物体那里获取信息的过程,这个信息流是显式的。但是反过来,虚箭头干预过程则通常是观察者O并没有明显觉察到的,但对于一般的过程来说,作用是相互的,因此,有观察必然就有干预。也就是说,我们这里讨论的是最一般的情况。

交互自动机就是对上述这一信息交互过程的建模。不失一般性,我们采用概率自动机来描述被测物体的测量反映。

最简交互自动机

讨论一般意义下的交互自动机将非常复杂繁琐,我们先来讨论一种最简单的交互自动机,在这个最简模型中,被测物体自身不包含演化的过程。它的变化完全是由观察者驱动的。其次,我们假设被测物体仅仅具有两种属性A,B,每种属性又仅仅有两种可能值{0,1}。但是,反过来,我们对观察者的要求相对比较松,观察者可以对W实施任意次的测量。但是,我们要求观察者O每次只能测量W的一个属性(不难想象,可以把同时测量多次属性的过程看成是多次测量,我们将证明,对于几种情况来说,这两者的确区别不大)。总结来看,最简交互自动机的运作可以如下图所示:

Measurementprocessp.PNG

我们看到,自动机的动作除了由观察者的测量驱动以外,还会由它自己内部的处理过程来驱动,我们将会看到,正是这内部的处理过程中却暗藏了不少的玄机。其实,所谓的交互自动机就是一段计算机程序,也就是说我们总能够写出程序来对其进行模拟,但是为了理论研究,我们不妨用有限状态自动机模型来讨论。交互自动机的作用是为了模拟不同的测量过程,这种测量过程包括了确定性物体W的测量过程,随机性物体W的测量过程以及对量子不确定性物体W的测量过程。为了模拟随机性,我们当然可以允许自动机内部产生随机数和不确定性。

下面,我们将对被测物体进行分类研究。

确定交互自动机

首先,最简单的情况就是被测物体是个确定的物体,它的属性值A和B都取确定值,例如,A0,A1和B0,B1。那么物体一开始就确定地处于A0,B1的状态,测量A会得到确定的A0,测量B会得到确定的B1,那么对应的交互自动机的有限状态自动机模型可以如此画:

Simplestinteracton.PNG

注意每条边上符号X,Y,X表示观察者O输入的待测量属性A或者B,Y表示返回给观察者的输出属性值A0,A1或者B0,B1。 我们看到对于这个系统来说,从初始开始,系统很快就会进入A0,B1这样的死循环中。

为了方便与后面的各类交互自动机比较,我们还可以用如下的列表来表示这个交互自动机:

表1:确定性交互自动机

From /To M A0,B0 A0,B1 A1,B0 A1,B1 Output
A0,B0 A 0 0 0 0
B 0 0 0 0
A0,B1 A 0 1 0 0 A0
B 0 1 0 0 B1
A1,B0 A 0 0 0 0
B 0 0 0 0
A1,B1 A 0 0 0 0
B 0 0 0 0

在这张表中,每一个列表项显示的是从行状态,当被测量属性A或B的时候到列状态的概率。例如A0,B1这一行,Measurement=A这个子行,对应的列A0,B1的项是1,表示当我们测量系统A属性的时候,它从A0,B1转移到A0,B1状态的概率是1。最后一列是对应测量下的输出测量值。不难看出来,当系统的A,B属性完全确定的时候,列表项中只有A0,B1->A0,B1这一项有概率值。

独立随机过程

在这种情况下,被测物体的A属性以概率p取值0,1-p概率取值1,同样,B属性以概率q取值0,1-q取值1。并且,这两个属性都是相互独立的。每次测量A(B)的时候,它就会随机选择0或者1。对于这种独立随机过程,我们不难画出交互自动机的状态转移图:

Independentrandom.PNG

在这张图中,方框节点表示产生随机数的选择,蓝色的线表示在某一种概率选择下的转移行为。因此,对于纯粹的独立随机过程,我们并不需要内部状态存储,只要不停地产生随机数依概率输出0或者1就行了。

同样地道理,我们可以用交互概率表来表示这个交互自动机:

表2:独立随机过程

From /To M A0,B0 A0,B1 A1,B0 A1,B1 Output
A0,B0 A p 0 1-p 0 0(p)或1(1-p)
B q 1-q 0 0 0(q)或1(1-q)
A0,B1 A 0 p 0 1-p 0(p)或1(1-p)
B q 1-q 0 0 0(q)或1(1-q)
A1,B0 A p 0 1-p 0 0(p)或1(1-p)
B 0 0 q 1-q 0(q)或1(1-q)
A1,B1 A 0 p 0 1-p 0(p)或1(1-p)
B 0 0 q 1-q 0(q)或1(1-q)

在最后一列中,被测物体将以概率输出0或者1,括号中为相应的概率。

马尔科夫过程

接下来,我们考虑另外一种随机的情况。被测物体每个属性值的转变都是马尔科夫过程。具体地,我们仍然假设A和B独立,并且A属性从A0转到A0的概率为p1,从A1->A0的转移概率为p2。这样A0->A1概率为1-p1,A1->A1为1-p2。同样的道理,Pr{B0->B0}=q1, Pr{B1->B0}=q2。

我们不难用下图来描述这个马尔科夫过程的交互行为:

Markovmeasurement.PNG

同样地,它可以总结成下列交互概率表:

表3:马尔科夫过程

From /To M A0,B0 A0,B1 A1,B0 A1,B1 Output
A0,B0 A 1-p1 0 p1 0 0(1-p1)或1(p1)
B 1-q1 q1 0 0 0(1-q1)或1(q1)
A0,B1 A 0 1-p1 0 p1 0(1-p1)或1(p1)
B q2 1-q2 0 0 0(q2)或1(1-q2)
A1,B0 A p2 0 1-p2 0 0(p2)或1(1-p2)
B 0 0 1-q1 q1 0(1-q1)或1(q1)
A1,B1 A 0 p2 0 1-p2 0(p2)或1(1-p2)
B 0 0 1-q2 q2 0(1-q2)或1(q2)

通过比较表2和表3,我们发现,它们具有相同的非零项位置。另外,表2具备的对称性在表3中看不到:表2中的第3行和第5行,第2行和第6行相同,但是在表3中却看不到这样的对称性。这是因为表2所表示的过程实际上是马尔科夫链的一种特例,即所有过程独立。

量子物体——兼容属性对测量

为了说明在这种情况下具体如何来测量,我们需要先了解点量子测量的具体计算方法。在考虑两个相互兼容的属性对A,B的时候,我们所制备的量子系统需要利用4维希尔伯特空间中的向量来表示。也就是,我们要用向量:


|\psi\rangle=x|00\rangle+y|01\rangle+z|10\rangle+w|11\rangle

来表示,其中x,y,z,w都为归一化的复数。其中基向量中的第一个数字就对应A属性测量的数值,第二个数字则是B属性对应的测量值。 对于这样的量子系统,我们需要写出各种属性测量的投影算符。我们已测量A属性得到A0属性值举例来说明:我们知道测量属性得到A0值对应两种可能:00和01,即B测量值可能是0或者1,这样测量A得到A0值的投影算符为:


P_{A0}=|00\rangle\langle00|+|01\rangle\langle01|

因为,在我们的假定下,观察者O每次只能测量得到一个属性值,因此只需要考虑单独属性对应的投影算符即可。下面,我们计算从初态|ψ>开始进行PA0测量得到属性值A0的概率:



Pr\{A=A0\}=|P_{A0}|\psi\rangle|^2=x^2+y^2

测量完之后,系统会进入状态:


|\psi\rangle'=\frac{P_{A0}|\psi\rangle}{|P_{A0}|\psi\rangle|}=\frac{x|00\rangle+y|01\rangle}{\sqrt{x^2+y^2}}

这个时候,如果再进行A属性的测量(无论是A0还是A1,系统都会给出确定的测量结果A0)。如果再进行B属性的测量(例如B0),则得到属性B的概率为:


Pr\{B=B0,A=A0|A=A0\}=|P_{B0}|\psi\rangle'|^2=(|00\rangle\langle00|+|10\rangle\langle10|)\frac{x|00\rangle+y|01\rangle}{\sqrt{x^2+y^2}}=|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}|00\rangle|^2=\frac{x^2}{x^2+y^2}

之后,系统地状态转为:


|\psi\rangle''=\frac{P_{B0}P_{A0}|\psi\rangle}{|P_{A0}|\psi\rangle||\frac{P_{B0}P_{A0}|\psi\rangle}{P_{A0}|\psi\rangle}|}=|00\rangle

这是一个确定的状态。之后如果再继续测量B属性则确定性地得到B0,测量A则得到A0。这个测量过程可以用下面的有限状态自动机来模拟:

Compatiblemeasurement.PNG

在这张图中,O-->X表示概率P_X|\psi\rangle,同样地,X-->Y则表示概率P_Y\frac{P_X|\psi\rangle}{|P_X|\psi\rangle|}

在这个有限自动机中,一共有9个状态(包括初始状态)。其中上面的5个过程(横线以上)都是初始测量过程。这是由量子测量系统所固有的特点所决定的。因为在测量之前,系统的状态并不会给定。因此,这部分属性的赋值只能由测量过程来决定。在这不兼容的两属性测量系统中不确定的物理量仅仅有2个(A,B)。他们一旦确定之后就变成了该量子系统的固定属性了,因此,当我们重复测量A,B两个属性的时候,我们将得到不变的结果。于是,这后面的确定性结果由横线以下的状态转移来给定。它们一定是A0B0,A0B1,A1B0,A1B1中的一种。有趣的是,无论是横线下的状态机的哪一种情况它们都与“确定性物体”的测量行为一致。

我们必须将全部的状态考虑进去以完整地表达交互自动机转移表。因此,原则上讲这张表将包括8*8*2=128项。体积过大,而这张表将会有4个子表与表1同构。这是因为,横线以下的系统行为将与确定性交互自动机等价。为了节省空间,这里不够出整张表了。

量子物体——不兼容属性对测量

下面考虑不兼容属性对的测量。假设物体的A,B两个属性分别对应了两个相互不兼容(不对易)的属性。这样,直接测量B和先测量A,再测量B是完全不同的两种测量。假设该量子客体处于初态ψ,那么这种被测量物体可以被描述成如下的交互自动机:

Incompatiblemeasurement.PNG

在该图中,虚线箭头对应的就是相应的投影测量乘以初态所得向量的模平方,也就是概率:


Pr\{i|0\}=|P_i\psi|^2

图中i->j符号表示的是概率:


Pr\{j|i\}=|\frac{P_jP_i\psi}{|P_i\psi}|^2

其中Pi为测量i所对应的投影算符。每条边对应的输出就是所指向节点的编号。注意,由于量子概率的性质,在该图中,i->j的概率与j->i的概率是相等的。

如果我们忽略从初始状态到各个状态的虚线箭头,那么我们可以得到类似的状态转移概率表:

From /To M A0 A1 B0 B1 Output
A0 A 1 0 0 0 A1(1)
B 0 0 A0-->B0 A0-->B1 B0(A0-->B0)或B1(A0-->B1)
A1 A 0 1 0 0 A1(1)
B 0 0 A1-->B0 A1-->B1 B0(A1-->B0)或B1(A1-->B1)
B0 A B0-->A0 B0-->A1 0 0 A0(B0-->A0)或A1(B0-->A1)
B 0 0 1 0 B0(1)
B1 A B1-->A0 B1-->A1 0 0 A0(B1-->A0)或A1(B1-->A1)
B 0 0 0 1 B1(1)
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